DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS TEMA 3. CONSTRUCCIÓN MATEMÁTICA DEL NUMERO CARDINAL. 2ª PARTE.

Día 06 de Noviembre de 2017

DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS.

CONSTRUCCIÓN MATEMÁTICA DEL NÚMERO CARDINAL.

2ª PARTE.

- SABEMOS QUE...:

• Definir un número cardinal por clasificación de conjuntos (mediante el criterio de equipotencia).
• Tenemos clases compuestas por conjuntos (conjuntos organizados en clases: clase 1, 2, 3...)

La propiedad que tienen en común todos los conjuntos equipotentes a una clase es el número cardinal.

Se dice que se da la relación de equivalencia porque cumple 3 propiedades (reflexiva, simétrica y transitiva)

• Propiedad reflexiva: todo elemento esta relacionado consigo mismo (la cantidad se puede conservar). Es equipotente consigo mismo. El elemento de una clase es un conjunto, por lo que la aplicación biyectiva existente es la identidad.
• Propiedad simétrica: si un conjunto está relacionado con otro conjunto (existe un emparejamiento entre elementos) le damos la vuelta y sigue existiendo una aplicación biyectiva.

• Propiedad transitiva: Si un conjunto A es equipotente a un conjunto B  y un conjunto B es equipotente a C. A y C son equipotentes.

- Ventaja:para incorporar un conjunto solo tengo que compararlo con un conjunto de la clase no con todos. Ejemplo: compararlo con el conjunto C (6 móviles)

- Lo que tienen en común cada clase es el número cardinal. Por tanto el número cardinal siempre se refiere a un conjunto (propiedad en común) y representa la cantidad de elementos que tiene el conjunto.

- Cada número se define aisladamente (tenemos que buscar la relación del conjunto). Es necesario secuenciar los números cardinales.

• PARA SECUENCIAR A TRAVÉS DEL PRIMER ELEMENTO:

- Comparar elementos de los dos conjuntos. Si los comparo (relación de equipotencia "correspondencia uno a uno"). La diferencia es de 1, entonces decimos que los dos números son consecutivos.

-A través del primer elemento.

•  CUÁNDO DECIMOS QUE UN NÚMERO ES MENOR O IGUAL QUE OTRO:

- f = una correspondencia en concreto. Aplicación de A a B. Cómo se le hace corresponder.

- Los números X e Y, se dice que  X ≤ Y. Si existe una aplicación inyectiva f de A en B, siendo A el conjunto cuyo cardinal es X , y B el conjunto cuyo cardinal es Y.

Comparamos los conjuntos.

Si existe una aplicación inyectiva (emparejo conjuntos y sobra alguno). Se trata de una relación de orden porque cumple con las propiedades reflexivas, asimétricas y transitivas.

Es un orden total, porque es una relación perfecta donde cualquier par de números se pueden comparar (siempre hay un menor y un igual).

Además, tiene una buena ordenación, ya que si cogemos un conjunto de números cardinales siempre hay subconjuntos que tienen un primer elemento, lo que permite secuenciar los números cardinales.

• DIDÁCTICA DE DIENES BASADA EN EL ASPECTO CARDINAL:

1. Qué realice juegos de correspondencia uno a uno. Debe aprender a clasificar los conjuntos en conjuntos equivalentes. (Que los niños clasifiquen)

- Ejemplo: conjunto de niños y bufandas➡son equipotentes.

                  conjunto de niños y silllas➡no son equipotentes porque sobran sillas.

2. Qué juegue con los bloques lógicos. Correspondencia entre los bloques lógicos. 

- Ejemplo: equipotentes ➡ finos y gruesos, grandes y pequeños, ...

3. Comprender que no hay una única correspondencia uno a uno entre dos conjuntos, sino que hay muchas. (Unimos uno con uno de manera diferente) 

- Ejemplo: conjunto A ➡3 chicas.

                  conjunto B ➡ 3 sillas.

( Cada chica puede cambiarse y sentarse en diferentes sillas)

Este punto recalca la importancia de lla conservación de la cantidad (siguen siendo 3)

Conteo➡ siempre hay lo mismo si empezamos a contar desde un sitio u otro. ¿Cuántos hay?

4. Construir conjuntos que no puedan ponerse en correspondencia uno a uno. La posibilidad de establecer conjuntos en correspondencia conduce a la igualdad de sus propiedades numéricas y la imposibilidad a la desigualdad de estas propiedades. 

- Ejemplo: si cogemos un conjunto de 5 elementos y otro de 6 elementos al establecer la correspondencia siempre sobrará 1.

5. Usar el simbolismo matemático: =,<, >. Los símbolos <,> se adquirirán fácilmente mediante la manipulación de las regletas encajables. (Números mayores, iguales o menores).

6. Poner los números cardinales en sucesión. Hay que determinar el siguiente de un número dado; éste sería aquel que se refiere a los conjuntos que tienen un elemento más que los conjuntos a los cuales se aplica nuestro número. 

- Ejemplo: El 5 es un conjunto que tiene un elemento más que el 4.

• CUANTIFICACIÓN DE LAS COLECCIONES:

Conjuntos matemáticos ↔ Colecciones de objetos.

Propiedad que tienen en común todos los conjuntos que son equipotentes entre sí ↔"tamaño de las colecciones  en el sentido de cuantificación de las mismas.

- NÚMERO CARDINAL → da SIEMPRE respuesta a la pregunta: ¿Cuántos hay?

- Existen 2 opciones: 

1ª. Dado un conjunto determina el número cardinal→ La respuesta es un número.

2ª. Dado un número determina un conjunto.  

- Disponer de una SECUENCIA nos va a permitir calcular el número cardinal. Secuenciamos los conjuntos en números cardinales. 

Tenemos un conjunto con 1 elemento que llamamos 1, un conjunto con 2 elementos al que llamamos 2, ... Disponemos por tanto de una secuencia (al menos del 1 al 10). 

Ahora vamos a considerar los 10 números como un único conjunto y los ponemos en correspondencia con el nuevo conjunto. Para ello hacemos una correspondencia uno a uno (entre los números y los elementos del conjunto). La última palabra que decimos es el cardinal del conjunto.

• CONTEO:

- PRINCIPIO DE ABSTRACCIÓN: se puede contar cualquier cosa.

- PRINCIPIO DE ORDEN IRRELEVANTE: da igual por donde se empieze a contar.

- PRINCIPIO DE CARDINALIDAD: la última palabra que digo es el cardinal del conjunto.

- PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA: a cada elemento le damos un número. 

• LENGUAJE SUBYACENTE:

- El número cardinal SIEMPRE tiene que ir acompañado de un verbo u objeto que le haga referencia.

• CONSERVACIÓN DE CANTIDADES DISCRETAS(lo que se puede contar):

 - No porque los objetos estén más separados o sean mas grandes y abulten más hay más cantidad.

• ESQUEMA DE CORRESPONDENCIA UNO A UNO:

- Correspondencia provocada y no duradera.

Ejemplo de provocada→ mete una flor dentro de cada florero.  El niño ve que hay las mismas flores que floreros.

Ejemplo de no duradera → saco las flores de cada florero y el niño piensa que ya no hay las mismas flores que floreros. Al verlas todas juntas formando un ramo piensa que hay mas cantidad.

- Correspondencia no provocada y no duradera.

Ejemplo de no provocada→ coge tantas flores como floreros. El niño se las ingenua solo hasta lograr conseguir una flor por florero.

Ejemplo no duradera→ igual que el anterior.

- Correspondencia no provocada y duradera (ÉXITO).

Ejemplo no provocada→ coge tantas flores como floreros.

Ejemplo duradera→ ¿Hay las mismas flores que floreros? El niño responde que sí, ya que se da cuenta de que la cantidad de flores es la misma, solo que no se encuentran dentro de los floreros.

 

• LÓGICA DE CLASES:    

 - La inclusión→ hay más cantidad en el conjunto más grande. Por ejemplo: hay más animales que perros porque todos los perros son animales.

- El complementario→por ejemplo: si reunimos los perros y los que no son perros tenemos el total de animales. 

- La inclusión jerárquica→ por ejemplo: sabemos decir que hay menos rondeños que malagueños, sin necesidad de contar a toda la población.