DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS TEMA 6. SUMA Y RESTA.

11 de diciembre de 2017

DIDÁCTICA  DE LAS MATEMÁTICAS. 

TEMA 6: SUMA Y RESTA

• Problemas de suma y resta:

Ejemplo: Si tengo 5 caramelos y mi madre me da 2, ¿Cuántos caramelos tengo?

El inicia de suma y resta se hace a través de problemas de enunciados verbales.

Es importante dominar la secuencia del 1 al 10 con la idea del cálculo.

• Definición cardinal de suma (Es para entender el enunciado del problema).

A+b= Card (A) + Card (B)=Card (AUB) Si AꓵB= Ø

Ejemplo: Reunir coches rojos con coches verdes.

• Definición cardinal de resta:

a-b= Card (A-B)

La resta no es operación interna.

Ejemplo: Al conjunto de niñas le quitamos la que tiene fular.

•  ¿Cómo se inicia?¿Qué hay que plantear?:

Plantear un problema de enunciado verbal, pero hay que empezar por lo más básico:

- Hacer una representación real de la situación (La profesora tiene 3 lápices y Rocio le da uno más. ¿Cuántos lápices tiene? Tengo que relacionar los 3 lápices con 1 más (4 lápices). Hace el cardinal pero no una suma.

Relacionar dos números para que te de otro: Suma. Problema de transformación (proceso y parte final "Tenía 3, me ha dado 1 y ahora tengo 4).

- Contar lo que está sucediendo al mismo tiempo que sucede (acompañado de lenguaje).

- Hablar de lo que sucedió (ya no es real sino solamente verbal).

- Represento los boligrafos con los dedos (pensamiento más abstracto). Ya si represento con los dedos, por lo que estoy sumando.

- Hacer una representación de lo que ha pasado (dibujo).

Traducimos el dibujo con números.

• Definición ordinal de suma (Va encaminado al cálculo).

a+0= a

a+f(n)= f(a+n)

3+2= 3+ f(1)= f(3+1)= 5

Ejemplo:Tengo 3 coches y me das 2 (sigo la secuencia).

• Definición ordinal de resta:

a-b es el número "r" tal que a+r=b, es decir, el número de siguientes de "b" que hay que contar para llegar hasta "a".

•  Tipos de problemas de suma por orden de dificultad:

1) Añadir/Transformación:

Ejemplo:Tengo 3 lápices y Rocio me da uno. ¿Cuántos lápices tengo?

2) Reunir/Parte-parte-todo:

Ejemplo: Hay 3 coches rojos y 2 verdes. ¿Cuántos coches hay?

3) Comparación:

Ejemplo: Pedro tiene 3 caramelos y Nuria 2 más que él. ¿Cuántos caramelos tiene Nuria?

• Tipos de problemas de resta por orden de dificultad:

1) Quitar/Transformación:

Ejemplo: Tengo 5 caramelos y doy 2 a mi hermano. ¿Cuántos caramelos me quedo?

2) Separar/ Parte-parte-todo:

Ejemplo: Hay 5 coches y 2 son de color verdes. ¿Cuántos coches hay de otro color?.

3) Igualación:

Ejemplo: Tengo 3 caramelos y tú tienes 5. ¿Cuántos me falta para tener igual que tú?.

4) Comparación:

Ejemplo: En un equipo de fútbol hay 3 niñas y 5 niños. ¿Cuántos mas niños que niñas hay en el equipo?.

•  Propiedades de la suma:

1) Operación interna: Cuando suma dos números naturales cuales quiera, me sale otro número natural.

2) Elemento neutro: Existe un elemento que me deja invariante la suma (no varía). Eso es el 0.

3) Propiedad asociativa: Dice que si suma (a+b) +c= a+(b+c). Da igual como lo sume porque va a dar lo mismo.

4) Propiedad conmutativa: Dice que si suma a+b=b+a. El orden de los factores no altera el producto.

Ejemplo: 2+5=5+2

                    7=7

• Bloques multibase:

Se usan para los algoritmos.

Ejemplo: 

Piezas pequeñas: unidades

Barra larga (decenas): Son 10 unidades

10 decenas: 100 centenas

Cubo: 1000 unidades

DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS TEMA 5. NÚMERO NATURAL.

4 de diciembre de 2017

DIDÁCTICA  DE LAS MATEMÁTICAS. 

TEMA 5: NÚMERO NATURAL

Actividad inicial. Salen 5 niñas del aula y cada una coge 2 números. La primera el 1 y el 2, la segunda el 3 y el 4….

A continuación, los ponen en fila boca abajo.

Después cogen 4 bolígrafos cada una.

Catalina va pasando por los números. Pasa por el 1 y le da 1 bolígrafo, pasa por el 2 y le da el segundo bolígrafo…. y así sucesivamente.

¿Qué relación hay entre cantidad y posición en la secuencia?

El número de la posición es el mismo número que la cantidad (si estoy en el número 8 es porque tengo 8 bolígrafos)

Consideraciones epistemológicas de la construcción del número

Hay dos aspectos, uno que es cardinal, que se refiere a la cantidad (3 bolígrafos), y otro ordinal, que se
refiere a la posición, hay una secuencia, y 3 es la posición. Vamos a intentar relacionar las dos ideas.

Partimos de una definición cardinal del número, y vamos a ponerlo en secuencia, ¿Cómo?, con la buena ordenación. Ahora, nos quedaría ver como hay una definición de número puesto en secuencia, cuando ya disponemos de una secuencia, ¿Cómo definir el numero cardinal? Es un procedimiento al revés.

AXIOMAS DE PEANO

Los axiomas de Peano nos permiten definir el conjunto de números naturales a través de una secuencia.

0,  f(0), ff(0), fff(0), ffff(0)

0,  1,     2,     3,      4……..

Construcción cardinal. Paso al ordinal

El siguiente de un número natural es añadir uno. Se obtiene la secuencia.

Construcción ordinal. Paso al cardinal

El último número natural n que resulta al poner en correspondencia biyectiva el conjunto A con la parte finita 1,2,3,......,n 

IMPLICACIONES ENTRE EL CARDINAL Y EL ORDINAL

1. Postulado fundamental de la Aritmética. El último cardinal es el ordinal del conjunto.

2. Cálculo de distintos números cardinales mediante ordinales. Las operaciones.

(Si tengo 2 y me voy al tres, ahora tengo 3, es decir, estoy en el 3, que es el tercero). Relación cantidad-posición.

3. Números cardinales asociados a un número ordinal (Ejemplo:si el osito está en el cuarto escalón, ¿cuántos escalones ha subido?

4. Números ordinales mediante cardinales (Ejemplo: Si el osito ha subido 5 escalones, ¿en qué posición está).

5. Correspondencia serial  (Dados dos conjuntos cuyos elementos tienen distintos tamaños, relacionamos los elementos de un conjunto con los del otro de tal forma que al elemento más pequeño de un conjunto le corresponde el elemento más pequeño del otro conjunto, al siguiente siguiente elemento más pequeño del conjunto le corresponde el siguiente elemento más pequeño del otro conjunto, así sucesivamente.)

6. Relaciones isomórficas entre el cardinal y el ordinal. (Ejemplo: si "a" es menor o igual que "b" entonces "a" es anterior a "b" en la secuencia. Y al contrario; si "a" es anterior a "b" en la secuencia entonces "a" es menor o igual que "b".)

7. Transformaciones que cambian el orden pero no la cantidad. Ejemplos:

8. Transformaciones que cambian el cardinal pero no el ordinal, es decir, añadir cantidad sin cambiar el orden anterior 

ACTIVIDADES

1. El último cardinal es el ordinal del conjunto.

El pollito inglés.
Un niño/a se situará frente a la pared, otro se mantendrá a un lado ejerciendo de árbitro de la actividad mientras los demás se situarán detrás de este a cierta distancia. El niño se colocará de espaldas a sus compañeros, entonces pronunciará más o menos deprisa la frase: “ un, dos, tres pollito inglés” y se girará rápidamente. El resto de participantes deberán ir avanzando poco a poco hasta llegar a la pared mientras este se encuentre de espaldas, y deberán quedar inmóviles cuando este se gire. El juego continuará hasta que la profesora pronuncie la frase de: “Cada pollito a su nidito”. En ese momento el niño encargado de ser arbitro de la actividad deberá comunicar al resto cuantos niños/as han llegado hasta la pared y el último niño en llegar será el último número cardinal. Independientemente a esto el resto de niños/as también tendrán su número correspondiente a cuál sería su orden de llegada.

2. a+n= b ( si tengo 2 y me voy al 3, ahora tengo 3, porque estoy en el 3 que es el tercero).

Relación cantidad - posición.

El corro de los globos.
Los niños y niñas se sitúan en círculo y cada uno de ellos tiene un número de globos. Cuando suene la música los niños irán bailando en circulo y al pasar por la mesa del profesor este les irá dando un globo más a cada uno. Cada vez que la música pare, estos se deberán colocar formando una fila pegados a la pared, cada uno de ellos colocado debajo del número que indique su posición dependiendo del número de globos que tenga. Por ejemplo: el niño/a que tenga 3 globos en la primera vuelta se colocará debajo del número 3, pero si en la segunda vuelta, cuando la música pare, ya tiene 5 globos pues se colocará  bajo el número 5.

3. Nº cardinales asociados a un Nº ordinal

Jugamos a la Rayuela.

Dibujaremos en el suelo con tiza, o bien con cinta adhesiva , el diagrama para jugar a la rayuela,
compuesto por cajas con números del 1 al 10.  Para empezar a jugar necesitamos una piedra plana.
Los niños/as se situarán en fila detrás del primer número, con la piedra en la mano para lanzarla. El niño/a comenzará a recorrer el circuito saltando a la pata coja en los cuadrados, o con los dos pies si se trata de un cuadrado doble, hasta llegar hasta el cuadrado donde haya caído su piedra. Entonces cogerá su piedra y volverá del mismo modo hasta la casilla de salida.El objetivo es pasar la piedra de cuadrado en cuadrado hasta llegar al 10. Si el niño pierde el equilibrio o la piedra se sale del cuadrado, se pierde el turno y pasa al siguiente jugador.
El niño/a deberá ir contando las casillas por las que pasa, de manera que si le toca la casilla número 3, vea que ha recorrido tres casillas y que por lo tanto se encuentra en la 3ª casilla del juego.

4. Nº ordinales mediante cardinales.

Desfile de modelos.
Colocamos en el suelo del aula 3 filas de aros con 10 aros en cada una de ellas. Dividimos los alumnos en 3  grupos de 10 niños/as. Mientras suene la música cada grupo de alumnos desfilara por una de las filas de aros. Cuando la música pare cada niño/a deberá quedarse quieto en uno de los aros. Entonces se le preguntara al niño/a: ¿Si has desfilado por cuatro aros en qué aro estás? A lo que este responderá: Estoy en el cuarto aro.

5.  Números cardinales asociados a un número ordinal cuando hay una correspondencia serial

Tenemos dos series por correspondencia serial (cuando se mantiene el orden), es decir, es cuando al más pequeño le corresponde el más pequeño, el 2 le corresponde el 2, y así sucesivamente. Si en una serie señalo la tercera posición, ¿Cuántos números cardinales puedo tener?, los anteriores son 2 y los posteriores 2, como es una correspondencia serial puedo calcular los anteriores y posteriores de abajo, ya que ocurre lo mismo en ambos. Dada una posición, tercer triángulo, hay que calcular cuántos triángulos hay anteriores y posteriores, y cuántos círculos hay anteriores y posteriores. Pero aplicando la correspondencia serial, ya sé cuántos hay.

La idea es que, con una posición, tengo 4 números.

6. Relaciones isomorficas entre el cardinal y ordinal 
Existe un ascensor que para en 10 plantas. Al inicio de la actividad, contamos los pisos con los alumnos.Previamente, a un niño le decimos que se parara en la planta 2 y otro en la 5, tendrán que responder a las preguntas ¿quién llegará antes a su planta?¿quién tendrá menos o más peluches? En cada planta que el alumno para cogerá un peluche. El niño que está en la planta dos tendrá dos peluches y el que está en la planta 5 tendrá 5 peluches. 
Una fila con arboles con manzanas, los niños irán avanzando y cogiendo una manzana en cada árbol. la docente ira parando a los niños, por lo cual no avanzaran, unos avanzaran y otros se irán quedando en posiciones anteriores ( la posición correspondencia al numero de manzanas, es decir, si estoy en la posición 7 tendré 7 manzanas)

7. Transformaciones que cambian el ordinal, pero no el cardinal:

Los niños están enumerados y ordenados en una fila en función de su edad. Habrá 10 niños (1 de un año, otro de 2 años, otro de 3 años… etc.) Cada uno llevará un cartel con el número que le corresponde según su posición en la fila dependiendo de su edad. Al poner la música, los niños empiezan a correr. Cuando se para la música deben volver a formar otra fila. Los niños estarán desordenados, pero seguirá habiendo 10 niños en total.

8. Transformaciones que cambian el cardinal pero no el ordinal.

Una carrera entre tres niños. Uno queda en el primer puesto, otro en el segundo y otro en el tercero. Vuelven a hacer una carrera entre cuatro niños. La posición de cada niño sigue siendo la misma pero la cantidad ha cambiado porque ahora hay un niño más.